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Bra-Ket 标志（Bra-Ket Notation），也被称为Dirac 标志，是量子力学中一种抒发矢量和矩阵元素的弘远器具。其名字开端于拆分英文单词'Bracket'，抒发了这个标志的图形特质。在量子物理中，这种标志用于形色详尽的希尔伯特空间中的向量和操作，为分解和操作量子态提供了一种了了、紧凑的方式。在接下来的磋议中，咱们将深切探索Bra-Ket标志的细节以及它如安在量子力学中被使用。
研讨一个一维的波函数Ψ(X)，描绘一个量子力学粒子。在点X_1处的波函数值是Ψ(X_1)，在点X_2处的函数值是Ψ(X_2)，在点X_3处的函数值是Ψ(X_3)等等。
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你不错给每一个x值分派一个函数值。通过这种方式，咱们不错将统统函数值示意为一个列表。咱们不错将这个值的列表看作是一个列向量Ψ，它存在于一个详尽的空间中。
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这个向量的组成部分有Ψ(X_1)，Ψ(X_2)，Ψ(X_3)等等。咱们以至不错像在线性代数中那样将这个向量进行可视化，第一个组成部分Ψ(X_1)酿成第一个坐标轴，第二个组成部分Ψ(X_2)酿成第二个轴，第三个组成部分Ψ(X_3)酿成第三个轴。
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皇冠博彩平台咱们只研讨三个组成部分，因为我弗成画出一个四维的坐标系。每个组成部分齐被分派了一个坐标轴。通过这种方式，这三个组成部分组成了一个三维空间。
一朝咱们研讨了一个异常的函数值Ψ(X_4)，这个空间就变成了四维的。咱们把代表波函数Ψ(X)的向量Ψ称为情景向量（state vector）。表面上，天然，有无限多的X值，因此也有无限多的Ψ(X)的关系函数值。要是有无限多的函数值，那么Ψ的情景向量地点的空间即是无限维的。这个详尽空间，在其中各式量子力学情景向量Ψ存在，被称为希尔伯特空间。
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一般来说，这是一个无限维的向量空间，但也不错是有限维的。举例，描绘一个单粒子的自旋朝上和自旋向下情景存在于一个二维的希尔伯特空间中，这意味着像自旋朝上这么的情景向量只好两个组成部分。
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因此，咱们不错用两种方式来示意一个量子力学粒子：当作一个波函数和当作一个情景向量。为了更好地分散粒子情景向量的描绘和波函数的描绘，咱们将情景向量Ψ写在一个箭头状的括号内，
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波函数Ψ(X)被示意为一个列向量，被称为ket向量，箭头状的括号指向右边，
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是以当你看到ket标志的本事，你就知说念它示意的是粒子情景当作一个情景向量。另一方面，要是你看到Ψ(X)，那么你就知说念它示意的是粒子情景当作一个波函数。
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Bra向量是ket向量的共轭转置，咱们称之为bra向量，
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十字架读作"dagger"，这个向量读作“PSI dagger”。为了示意得更紧凑，咱们将bra向量示意为：
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为超过到与ket向量共轭的bra向量，需要作念两个操作：转置ket向量，这将它变成一个行向量；然后对转置的ket向量进行复数共轭，即在右上角加上星号。
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是以，让咱们回归一下：在向量示意中的波函数Ψ对应于ket向量，而行向量是与ket向量共轭的bra向量。由于咱们如故将波函数Ψ施展为一个ket向量，咱们不错像对待线性代数中的惯例向量雷同处置它。举例，不错酿成bra或ket向量之间的标量积或张量积。对你来说可能新颖的是，向量中的元素不错是复数，而且元素的数目不错是无限的。
不错在一个bra向量和一个ket向量之间酿成标量积，
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在这里，不错不详标量积点和一个垂直线，
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要是要在一个无限维的希尔伯特空间中酿成标量积的情景向量，
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那么咱们不称这个操当作标量积，而叫内积（inner product）。可是，内积的括号标志与标量积的情况交流。
标量积
在一个有限的n维希尔伯特空间中，自便的bra向量Φ和ket向量Ψ之间的标量积看起来是这么的：
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索引1，2，3直到n仅仅函数值的简陋示意。举例，组件Ψ1代表函数值Ψ(X_1)。你不错像作念惯例的矩阵乘法雷同将向量乘开，
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你不错用一个乞降标志来简写这个等式，
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这里的n是希尔伯特空间的维度，也即是希尔伯特空间中的情景向量中的元素个数。
内积
关于在无限维希尔伯特空间中的情景，带有乞降标志的标量积并不精准，因为咱们会浅近地不详X_1和X_2点之间的好多函数值，
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关于无限维的情景，使用积分，因此咱们用积分标志替换乞降标志，
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天然，咱们咫尺威尼斯人轮盘研讨的是函数值
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这个内积粗略标量积内容上意味着什么呢？内积像标量积雷同，是一个测量两个情景类似历程的数值，
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张量/外积
另一个弥留的bra向量和ket向量之间的运算是张量积，粗略更精准地说，外积，
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咱们不错不详张量标志，
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因为从bra-ket标志中不错立即看出这不是标量积或内积。在这里，bra和ket向量的位置被交换了，
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张量积的遵守是一个矩阵，
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你将在量子力学中经常碰到这么的矩阵，比如在学习量子纠缠时。
投影矩阵
要是咱们取一个步调化的情景Ψ，也即是说，这个向量的大小是1，
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何况用它我方酿成一个张量积，
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咱们就获得一个投影矩阵。当咱们将它欺诈到任何ket向量Φ上时，即是将一个矩阵乘以一个列向量，
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投影矩阵的异常性质是，它将情景Φ投影到情景Ψ上，换句话说，它产生的是与波函数Ψ类似的波函数Φ的部分。
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投影的遵守因此是一个描绘波函数Φ和Ψ的类似的ket向量。
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投影矩阵因此是表面物理学中商量量子态类似的弥留器具。
ket向量的基变换
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可能投影矩阵最弥留的用途辱骂常浅近的基变换（basis change）。要是有一些量子态Φ，咱们念念从不同的角度看它，粗略从数学上讲，在不同的基中示意它，那么天然咱们最初采用欲望的基，
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这即是你从线性代数中知说念的SEO，一组正交步调化的向量Ψ1, Ψ2, Ψ3等等，
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它们的数目等于这些向量地点的希尔伯特空间的维度。
为了确认，让咱们假定欲望的基只包含三个基向量Ψ1, Ψ2, Ψ3，
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咱们用每一个基向量构造投影矩阵，
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为了在新基中示意量子态Φ，咱们求出各基投影矩阵的和，
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正如咱们从数学中知说念的，酿成一个基的投影矩阵的和是一个单元矩阵I，
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这个单元矩阵的和非常弥留，因为咱们并不念念改革量子态 Φ。单元矩阵乘以列向量Φ并不改革这个向量，
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咫尺咱们将基投影矩阵的和代入单元矩阵，获得的情景 Φ，
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固然其标志与基变换前的情景交流，但咫尺是以基Ψ1, Ψ2, Ψ3来示意的。举例，要是咱们念念强调新的基底，咱们也不错给它一个索引 Ψ，
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我但愿你咫尺明显了投影矩阵的成见有何等灵验。
一般来说，咱们不错用一个公式示意基变换，这个公式用 n 个基向量浅近地替换掉乞降标志下的数字3。
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这么的基变换只好在 Φ 和 Ψ 这么的情景在有限维希尔伯特空间中时才是精准的。
但是关于具有无限多个重量的情景，基变换是若何使命的呢？关于这个，咱们将破碎乞降替换为聚会乞降，用积分替换乞降标志，
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咫尺，你应该对 bra-ket 标志有了坚实的基础学问：了解了 bra 和ket向量是什么，若何用它来酿成标量积和内积，若何用它构造投影矩阵，如安在 bra-ket 标志中进行基变换。
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